Las ecuaciones paramétricas son una herramienta matemática que nos permite abordar los problemas con una estrategia diferente a las ecuaciones cartesianas.
En la presentación adjunta se explica la forma en que se tratan estas ecuaciones.
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Ejercicios de integrales múltiples.
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La presentación adjunta contiene las explicaciones del procedimiento para resolver integrales múltiples, comenzando con una introducción a partir de las integrales de una variable.
Contiene 10 ejemplos resueltos y explicados paso a paso.
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Favor de resolver los problemas del ejercicio 2.1 siguiendo los procedimientos explicados en clase.
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Estas fórmulas son las más sencillas de emplear y en la presentación pueden encontrarse ejemplo sy ejercicios para comprender mejor el tema.
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En la presentación adjunta se explica el procedimiento para determinar la pendiente y la ecuación de la recta tangente a una curva en cualquier punto dado.
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Las derivadas parciales, en forma similar a las ordinarias, nos permiten modelar problemas de optimización con facilidad.
Los siguientes ejercicios requieren practicar las habilidades básicas de derivación, y aplicar estos conocimientos en el modelado y resolución de problemas.
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En matemáticas y materias afines es recomendable realizar el trabajo en forma ordenada, por ello, se propone este formato para la resolución de problemas acerca de la recta tangente a la curva en un punto dado.
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La derivada del cociente de dos funciones se obtiene mediante la regla que se explica en la presentación adjunta, y se aplica igualmente a derivadas parciales.
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Las derivadas parciales, como otras ramas de la matemática, son útiles en el planteamiento y solución de problemas de diferentes áreas.
La presentación adjunta contiene la explicación detallada del procedimiento de solución de un problema de toma de decisiones mediante derivadas parciales.
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Uno de los problemas fundamentales de la geometría analítica es: Dado el lugar geométrico de un punto, determinar su ecuación.
En este caso se conoce el lugar geométrico de una recta y debemos determinar su ecuación. En la presentación adjunta se explica el procedimiento para realizar esta actividad.
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Formato para la...
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La derivación en funciones de varias variables sigue las mismas reglas que la derivación en una variable, sencillamente se resuelven derivadas parciales.
La siguiente presentación contiene la explicación de la forma de aplicar las primeras cinco fórmulas.
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Las fórmulas básicas de integración que se encuentran en el formulario de matemáticas básicas son útiles solamente cuando el integrando cumple ciertas condiciones, en muchos casos, estas condiciones no se cumplen y es necesario recurrir a los métodos y técnicas de integración.
En la presentación adjunta se explica la forma en que se aplica la técnica de integración por partes.
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La obtención de límites mediante aproximación numérica presenta innegables ventajas en cuanto a la facilidad para determinar el resultado, aunque con cierta incertidumbre cuando son valores con muchos decimales. No obstante, su mayor desventaja radica, precisamente, en esa incertidumbre que no siempre resulta sencillo eliminar.
Por estas y otras razones es preferible emplear métodos algebraicos para determinar límites. La presentación adjunta contiene una explicación de algunos casos que pueden ser resueltos por factorización.
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Las funciones en dos o más variables pueden analizarse en forma similar a las funciones en una variable; dominio, contradominio, gráfica, propiedades geométricas, entre otros aspectos.
La siguiente presentación contiene una explicación acerca de la forma de analizar el dominio de una función en dos variables y su gráfica.
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El estudio del cálculo diferencial e integral requiere del uso de numerosas fórmulas, por ello, es necesario contar con un formulario para facilitar la identificación de las fórmulas conforme a una numeración.
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Las fórmulas o reglas de integración indican, además de la solución de una integral, las características que debe tener una expresión para poder aplicar dichas fórmulas.
En la presentación adjunta se explica el procedimiento para aplicar las fórmulas 1 a la 4 que, por lo general, se aplican en un mismo paso del procedimiento.
La numeración que identifica a las fórmulas hace referencia al número que se asignó para fines de comunicación en el formulario que se encuentra en el siguiente enlace:
https://licmata-formulae.blogspot.com/2020/01/formulario-de-matematicas-2020.html
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El concepto de función es uno de los más útiles en matemáticas; una vez identificada la relación funcional entre dos o más variables, resulta muy sencillo obtener un modelo matemático que puede ser resuelto mediante cualquiera de las muchas herramientas disponibles, en este caso se aplica el cálculo diferencial.
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El encuadre de un curso debe realizarse durante las primeras sesiones del mismo; debe incluir la información necesaria para que el estudiante identifique las formas de trabajo y evaluación, así como los recursos tecnológicos que se emplearán durante el curso.
La siguiente presentación contiene el encuadre del curso de Cálculo Integral.
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La importancia del cálculo diferencial en estudios de ingeniería radica en sus aplicaciones; numerosos problemas de ciencias básicas son resueltos con facilidad mediante esta herramientas.
El curso inicia con la fundamentación teórica del cálculo a través de la teoría de límites, seguido del uso de las fórmulas de derivación, para cerrar con las aplicaciones de la derivada.
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Las aplicaciones de la matemática en la vida cotidiana en general, y en la ingeniería en particular son muy variadas, la siguiente colección de problemas es solamente una pequeña muestra del potencial que el cálculo diferencial presenta para la resolución de problemas.
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La obtención de límites por medios aritméticos tiene la ventaja de su simplicidad conceptual, aunque la desventaja de arrojarnos un resultado aproximado, por ello, es necesario conocer las estrategias algebraicas que pueden emplearse en la obtención de dichos límites.
El siguiente ejercicio contiene problemas en los que debe obtenerse el límite mediante aritmética y otros en los que se pide un procedimiento algebraico. Es indispensable el uso de los formatos indicados en el propio ejercicio para obtener el máximo puntaje indicado.
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La pandemia ha mantenido a las escuelas sin alumnos durante casi un año y medio. Cada institución, de acuerdo con sus posibilidades y condiciones ha recurrido en mayor o menor medida a la videoconferencia como una forma de trabajo de la clase aumentando la complejidad del ya de si complicado proceso educativo.
Ante la falta de formación como instructores en línea, los profesores hemos puesto en práctica toda clase de estrategias, técnicas y recursos para llevar adelante el proceso enseñanza aprendizaje.
Un tema que ha generado polémica es el uso de la cámara del alumno; ¿debe exigirse al estudiante que la mantenga encendida? ¿realmente contribuye a que el alumno se mantenga más atento?
Existen muchas opiniones encontradas acerca de este tema: mientras algunos sostienen que, por diversas razones éticas, tecnológicas y pedagógicas, NO debemos exigir que el alumno mantenga la cámara permanentemente encendida, si acaso pedir que se active cuando sea estrictamente indispensable, sin embargo otros expertos enfatizan los beneficios de que la cámara esté activa durante las videoconferencias.
Si se desea consultar el tema, los siguientes enlaces contienen interesantes argumentos en un sentido y otro:
https://tecnoeducacion.cl/2020/10/19/educacion-a-distancia-es-necesario-prender-la-camara-en-clases/
https://ibero.mx/prensa/tipsibero-educacion-distancia-con-o-sin-camara-encendida
Otra pregunta que debemos hacernos es; ¿en qué medida contribuye la cámara encendida a que el alumno se mantenga más atento?
Nuevamente podemos encontrar argumentos a favor y en contra en los mismos enlaces que se anotaron en las líneas anteriores.
En cao de que no se obligue a encender a la cámara del alumno, ¿qué medios podemos poner en práctica para mejorar la participación y el aprendizaje por parte del estudiante?
Las técnicas didácticas participativas son conocidas desde hace tiempo, y muchas de ellas pueden adaptarse a la educación no presencial, por ejemplo:
1. Desde el principio comunicar claramente lo que se espera del alumno en cada fase de las actividades académicas.
2. Pedir a uno o dos alumnos recapitular lo que se estudió la clase anterior mientras sus compañeros toman notas.
3. Hacer pausas durante las exposiciones verbales para que los estudiantes puedan comentar las notas que están tomando y que el grupo haga observaciones acerca de lo que se comenta.
Estas y otras recomendaciones se pueden encontrar en el enlace siguiente:
https://observatorio.tec.mx/edu-bits-blog/trucos-para-aumentar-la-participacion-de-los-estudiantes
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La matemática se aprende haciendo matemáticas, es decir, mediante la práctica. El siguiente documento contiene tres problemas clásicos de aplicaciones de la derivada en situaciones de optimización.
Una presentación en la que se explica el procedimiento se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/07/derivative-applications-1.html
Un ejemplo de utilización del Formato 3.1 se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/08/template-31-applications-of-derivative.html
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El uso de formatos para la resolución y presentación de trabajos en matemáticas tiene la ventaja de servir como guía acerca de la información que el alumno debe entregar con sus características claramente establecidas por escrito.
Además contribuye a que el alumno lleve a cabo un procedimiento ordenado al momento de resolver los problemas y el producto final presentará estas mismas características.
El formato 3.1 que se adjunta describe el procedimiento que se debe seguir para resolver los problemas de aplicaciones de máximos y mínimos relativos mediante derivadas.
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Después de 16 meses de clases en línea y/o híbridas, las instituciones de educación superior se preparan para un inminente regreso a las actividades presenciales.
Dado que la educación es un proceso tan complejo y que se ve afectado por múltiples variables, es importante evitar caer en la sobre-simplificación; evidentemente la tecnología no es la solución a los problemas que, desde hace siglos, enfrenta la educación, ya sea presencial o no.
Sin embargo, numerosos estudios muestran que la aplicación efectiva de tecnología educativa es un importante componente para poner en operación los modelos centrados en el estudiante que se requieren desde hace tiempo.
Las Tecnologías audiovisuales; cámaras, micrófonos, pantallas, proyectores, entre muchos otros recursos deben seleccionarse teniendo en mente que sea amigable con el usuario, de modo que se generen buenas experiencias de uso para el profesor y sus estudiantes.
Los laboratorios conectados a la internet son otro recurso imprescindible para llevar adelante los modelos presenciales, no presenciales y/o híbridos.
El artículo que se toma como referencia para esta publicación se encuentra en el siguiente enlace:
En dicho artículo se encuentran recomendaciones específicas de marcas y modelos de equipo electrónico que puede ser adecuado para usos educativos.
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Existe mucha información teórica acerca del trabajo docente y los requerimientos para que un estudiante sea competente, sin embargo, en muchos de estos documentos no se pregunta al alumno qué espera de sus profesores.
Para responder a esta pregunta se realizó una encuesta con alumnos de la carrera de psicología de la Universidad del valle de México campus Cumbres para conocer su nivel de satisfacción y sus expectativas.
Los resultados son muy instructivos para mejorar nuestro trabajo como profesores:
Naturalmente los alumnos esperan una buena organización de la clase, experiencia profesional y docente, y que los conocimientos impartidos tengan alguna aplicación.
Son embargo, los estudiantes esperan muchas otras cosas de sus profesores:
Esperan que sus profesores muestren "liderazgo, capacidad ara trabajar en colaboración con otros actores del hecho educativo, valores sociales y su intervención para resolver problemas comunitarios."
Es necesario capacitar al profesor en temas contemporáneos para que pueda fomentar la responsabilidad social reflexiva con miras al bien común.
En el siguiente enlace se encuentra el artículo en que se basa esta publicación:
https://observatorio.tec.mx/edu-bits-blog/que-buscan-los-alumnos-universitarios
Resulta de particular interés la reflexión final del artículo que, entre otras cosas dice:
"Las nuevas generaciones y el contexto sociocultural actual están haciendo un llamado a quienes realizamos la función de docentes para fomentar una responsabilidad social reflexiva y con miras al bien común, alejándonos del modelo de éxito individualista de años anteriores. Como formadores de personas, debemos reflexionar constantemente sobre nuestras prácticas y nuestra enorme responsabilidad social. ¿Estamos preparados los profesores para esta responsabilidad? ¿Cómo podemos apoyarnos entre nosotros y a los alumnos para lograr estos objetivos? Estas y otras cuestiones son planteamientos clave que debemos trabajar en nuestra práctica pedagógica diaria para las generaciones actuales y futuras."
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En la primera parte de esta publicación, que se encuentra en el enlace que se encuentra después de este párrafo, se explica el procedimiento para derivar logaritmos. En esta ocasión se revisa la derivada de funciones exponenciales.
http://licmata-math.blogspot.com/2021/07/derivatives-of-transcendental-functions.html
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La cuarentena de marzo de 2020 a abril de 2021 puso sobre la mesa un problema que ya se venía observando; la educación no presencial no se ha desarrollado al ritmo de los avances tecnológicos disponibles, en la siguiente página de la UNESCO se hace una lista con numerosos recursos para la gestión y desarrollo de la educación no presencial:
https://en.unesco.org/covid19/educationresponse/solutions
Sin embargo, un tema central sigue siendo el profesor; generalmente se cree que capacitar al docente en el uso y manejo de tecnologías digitales será suficiente para que pueda impartir clases no presenciales, pero no es así, es indispensable una mayor preparación en las metodologías de trabajo para clases de este tipo, de otra forma, se recurre a la improvisación y/o la reproducción de formas de trabajo convencionales bajo nuevas circunstancias.
Esta presentación es la continuación de otras tres que se encuentran en los siguientes enlaces:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/06/derivative-formulae-01.html
http://proc-industriales.blogspot.com/2021/06/derivative-formulae-02.html
http://licmata-math.blogspot.com/2021/06/derivative-formulae-03.html
En este documento se explica, paso a paso, el procedimiento para obtener la derivada de un cociente de dos funciones, tomando como base dos ejemplos en los que se enfatiza la importancia de saber álgebra para resolver este tipo de ejercicios.
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A raíz de la pandemia por COVID-19, la educación, en todo el mundo, recibió un fuerte impacto y, a pesar de la gran inercia social de esta actividad, fue modificada significativamente, de modo que ahora resultará muy difícil regresar a las formas de trabajo pre-COVID.
Uno de los aspecto más significativos es el uso de tecnologías digitales, una forma de trabajo que se había venido desarrollando lentamente y a la que se oponían grandes fuerzas sociales, tuvo que ser empleada ante las condiciones impuestas por la cuarentena.
Este uso de tecnologías digitales, y muy especialmente las formas de educación no presencial han hecho pensar a muchos expertos que la educación no presencial será la forma de trabajo normal en el futuro cercano.
El artículo que se encuentra en el siguiente enlace aborda este tema:
En dicho documento se analizan cinco razones por las que la educación del futuro será en línea, a continuación se mencionan y comentan brevemente estos argumentos.
1. Es flexible.
Permite al alumno y al profesor avanzar a un ritmo personalizado.
2. Se ofrece una amplísima gama de programas educativos.
Al estar en línea, se tiene acceso a propuestas educativas en todo el mundo, por lo que la oferta es enormemente variada.
3. Es accesible.
Por sus características propias, es sencillo estudiar desde cualquier lugar, con lo que se posibilita el acceso a modelos educativos que serían inaccesibles por razones físicas y/o económicas.
4. Permite una experiencia de aprendizaje personalizada.
No solamente es una forma de educación flexible, sino también permite que cada estudiante aborde el aprendizaje desde su nivel de habilidades y de acuerdo con sus requerimientos.
5. Es más efectiva con respecto al costo
La inversión económica suele ser menor que en la educación presencial, y los resultados pueden ser tan buenos como el estudiante esté dispuesto a esforzarse.
Es evidente que estos argumentos parten de la base de la disponibilidad y acceso a internet y otros medios digitales, por lo que las condiciones de desigualdad seguirán impactando a los estudiantes de menor capacidad económica, tocará a los gobiernos invertir lo necesario para lograr la equidad necesaria.
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Para que los estudiantes tengan claro qué es lo que se espera que hagan al resolver un problema, es conveniente utilizar formatos, y cuando esto no es posible, entonces puede ser útil mostrar un problema resuelto con todos los elementos que se deben incluir.
El problema resuelto que se adjunta, es el primero del Ejercicio 2.4, que se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/06/exercise-24-derivatives-formulae-01.html
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Las primeras cinco fórmulas de derivación son, con mucho, las más usuales, sin embargo, a veces es necesario recurrir a otras fórmulas.
En la siguiente presentación se revisan algunos casos en los que, mediante un procedimiento algebraico, se ajustan diversos problemas para que puedan resolverse mediante dichas cinco fórmulas, posteriormente se introduce la necesidad de emplear la fórmula número 6.
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El desarrollo del cálculo muestra el proceso mediante el cual se producen y validan nuevas ideas en la ciencia en general, y en la matemática en particular.
La siguiente presentación parte de la generalización de observaciones en los procedimientos y/o resultados de problemas acerca de la pendiente de la recta tangente, y cómo puede conducir a las fórmulas de derivación.
También se hace una sintética descripción histórica del desarrollo del cálculo.
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Un tema central en el desarrollo del estudiante universitario es la Autonomía Intelectual y cómo desarrollarla.
Uno de los mayores obstáculos que enfrentamos en las Universidades es la elevada dependencia de los estudiantes para con el profesor, especialmente cuando el nivel de dificultad de las asignaturas es alto. Con frecuencia encontramos alumnos que han aprendido a responsabilizar a su profesor de su aprendizaje. Es muy frecuente que utilice frases como: "No entendí nada", dando a entender que es función del profesor resolver sus deficiencias y eludiendo la responsabilidad que le corresponde.
Una actividad normal en las universidades son las asesorías académicas que tiene como finalidad apoyar al estudiante cuando enfrenta dificultades apara comprender algún tema, desafortunadamente el alumno suele pensar que, dado que puede solicitar asesorías, entonces no tiene que esforzarse por aprender y con el hecho de asistir a asesorías, va a aprender.
De modo que asiste a asesorías con la idea de que sólo deberá sentarse a que le expliquen, por tercera, cuarta o quinta vez los temas de la clase y que no necesita esforzarse en realizar las actividades porque la responsabilidad es del profesor, de la escuela, de las asesorías, pero nunca de él mismo.
Es indispensable revisar cuidadosamente y verificar que el alumno tenga claro que la responsabilidad de aprender es suya, y que todas las actividades académicas y de apoyo deben ser complementadas con su esfuerzo personal.
Sabemos que es un tema complejo y que presenta múltiples aristas, pero es necesario revisarlo y analizarlo cuidadosamente antes de establecer un sistema de asesorías que genere dependencia en el alumn.
La pandemia cambió la educación. Todavía no sabemos la profundidad y alcance de estos cambios pero, a pesar de la gran inercia social que ha mostrado siempre el sistema educativo, en esta ocasión las fuerzas que intervienen en este cambio son grandes y de duración considerable.
Uno de los efectos más notables del cambio en la educación es el uso de las tecnologías de la información y comunicación, un hecho que no puede revertirse; aunque regresemos a las clases presenciales, no podemos dejar de aprovechar las ventajas de las herramientas digitales que utilizamos durante la cuarentena.
En el siguiente enlace se revisan los efectos favorables y desfavorables de las videoconferencias como recurso para la enseñanza:
https://observatorio.tec.mx/edu-news/la-mirada-de-zoom
Se hace referencia a los efectos no deseados, en lo educativo y lo profesional, del uso de esta herramienta.
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Determinar la pendiente de la recta tangente a una curva da lugar a un procedimiento que, mediante límites, permite obtener una expresión algebraica para calcular la pendiente de dicha recta tangente en cualquier punto.
El procedimiento es explicado, paso a paso, en la presentación que se encuentra en el enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/06/four-steps-rule.html
Este método es conocido como la regla de los cuatro pasos y es el antecedente geométrico de la derivada.
Para resolver los problemas de este ejercicio es recomendable seguir las indicaciones del Formato 2.2 que se encuentra en:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/06/template-22-four-step-rule.html
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Una buena forma de entender la educación es esta narración del mito de Prometeo, ya que va conduciendo a la comprensión del origen de la necesidad de educar al ser humano.
El siguiente material fue tomado del libro "Historia de la Pedagogía" de Abbagnano, sirve como introducción para entender la necesidad de la educación para el hombre.
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El siguiente problema está resuelto sobre el Formato 2.1, de modo que pueda servir como modelo acerca de la forma en que deben resolverse y entregarse los problemas del Ejercicio 2.2.
Esta forma de presentación, además de propiciar un trabajo ordenado y sistemático, conduce a una mejor comprensión de los temas por parte del alumno al mostrar, detalladamente los procedimientos empleados por sus profesor, y la forma en la que organiza la información.
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El antiguo problema consistente en determinar al pendiente de la recta tangente a una curva, en un punto dado, puede ser resuelto aplicando el concepto de límite.
La siguiente guía didáctica tiene por objetivo orientar al alumno en la obtención de la pendiente mencionada mediante aproximaciones numéricas.
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Uno de los problemas básicos de la geometría analítica es; dado el lugar geométrico de un punto, determinar su ecuación. En esta presentación se explica, paso a paso, el procedimiento para calcular la pendiente de una recta dados dos puntos y, posteriormente, conocida la pendiente y uno de los puntos iniciales, se determina la ecuación de la recta.
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El archivo adjunto contiene un problema resuelto en el Formato 1.2, tiene la finalidad de servir como modelo o guía para la resolución de problemas en dicha plantilla.
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En cualquier proyecto de intervención o mejora, el primer paso consiste en identificar el problema o necesidad que se va a resolver; no es necesario proponer, por ahora, ninguna solución, solamente vamos a precisar qué es lo que no va de acuerdo con lo planificado o deseado.
Los problemas pueden presentar diferentes aspectos; demasiadas reclamaciones de garantía, exceso de scrap, baja eficiencia en una línea de producción entre muchos otros ejemplos.
Este paso corresponde al punto 1.1 de la estructura de tesina o memoria profesional.
Favor de revisar la siguiente presentación para aclarar en qué consiste.
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Determinar el límite de una función cuando la variable independiente tiende a un valor determinado es un problema típico del cálculo diferencial, a veces pude ser resuelto sencillamente aplicando las propiedades de los límites que se describen en el enlace siguiente:
http://proc-industriales.blogspot.com/2021/05/importance-of-books-in-education-laws.html
En ocasiones, la aplicación de dichas propiedades conduce a una resultado indeterminado, por lo que es necesario recurrir a otros métodos, por ejemplo la aproximación numérica, como se explica en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/05/activity-11-limits-theory-and-functions.html
La aritmética nos permite encontrar el valor de algunos límites que, en primera instancia arrojaron un resultado indefinido, pero en ocasiones esto no es suficiente, por lo que se recurre a técnicas algebraicas como las que se explican en la siguiente presentación.
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Con el uso de las tecnologías de la información ha disminuido el uso de libros, ya que resulta mucho más sencillo buscar alguna página, video o tutorial acerca del tema que nos interese. Sin embargo, es necesario desarrollar en los estudiantes el hábito de utilizar los libros para obtener información confiable y válida.
El siguiente documento contiene la información necesaria para aplicar los teoremas de límites.
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Determinar el límite de una función puede requerir de toda clase de métodos matemáticos, uno de los más sencillo es la aproximación numérica.
El problema siguiente se resuelve empleando este método, es muy importante que la gráfica presente las características señaladas en el Formato 1.1 que se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/05/template-11-numerical-approximation-to.html
Indicaciones acerca de la gráfica:
En la tercera sección debe trazarse la gráfica e identificar explícitamente las discontinuidades existentes con sus coordenadas. Debe incluirse la ecuación de la función que se está graficando y, al menos, cinco de los puntos que se emplearon para tabular, con sus coordenadas. Se debe anotar la expresión algebraica del límite que se está calculando con su respuesta.
Es importante observar el orden en el que se presentan los números, tabulaciones, resultados y procedimientos.
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Una forma sencilla de abordar el concepto de límite consiste en aproximar numéricamente el valor de una función, resulta especialmente interesante y útil cuando la función no estádefinida en el valor de interés.
El siguiente video contiene una muy buena explicación de al aproximación numérica de límites, tal como se plantea en la Actividad 1.1 que se encuentra en el siguiente enlace:
http://licmata-math.blogspot.com/2021/05/activity-11-limits-theory-and-functions.html
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