El cálculo integral tiene numerosas aplicaciones, una de ellas es el cálculo de áreas limitadas por curvas. En los siguientes ejercicios se requiere determinar el área limitada por una curva, el eje equis, y dos valores de equis.
Es muy importate trazar la gráfica para identificar en cuál de los tres casos más comunes puede ubicarse cada problema.
El desarrollo de la Matemática ha sido constante a lo largo de miles de años, uno de sus últimos resultados son los vectores, que aparecen hace poco más de 100 años con los cuaterniones de Hamilton que contienen una parte escalar y otra vectorial.
En el siguiente ejercicio se introducen los conceptos básicos de los vectores y sus operaciones fundamentales.
Los métodos del álgebra lineal que se emplean para resolver sistemas de ecuaciones se caracterizan porque eliminan las componentes algebraicas y resuelven todo empleando únicamente aritmética.
Estas características nos permiten hacer uso de herramientas tecnológicas sencillas para efectuar dichos procedimientos, como una hoja de cálculo.
En caso de considerarlo necesario puede encontrarse una detallada explicación del método de Cramer sin herramientas tecnológicas, es decir, a mano en el siguiente enlace:
El cálculo integral tiene numerosas aplicaciones, una de ellas es el cálculo de áreas limitadas por curvas. En los siguientes ejercicios se requiere determinar el área limitada por una curva, el eje equis, y dos valores de equis.
Es muy importate trazar la gráfica para identificar en cuál de los tres casos más comunes puede ubicarse cada problema.
La resolución de problemas mediante herramientas matemáticas requiere de un proceso de análisis, interpretación y abstracción que permite postular una serie de características del modelo matemático que se va a utilizar.
En la siguiente presentación se explica, paso a paso, cómo se lleva a cabo este proceso de modelado al resolver un problema acerca de punto de equilibrio entre costos e ingresos mediante un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
El análisis conduce a la necesidad de resolver cuatro problemas por separado, aunque a primera vista puede dar la impresión que se trata de un solo problema.
14 sencillas recomendaciones para una mejor enseñanza en línea
A raíz de la emergencia sanitaria que tomó a todo el mundo por sorpresa, los profesores hemos tenido que desarrollar nuevas competencias para impartir nuestras clases en un formato completamente diferente al que estamos acostumbrados.
Cada profesor ha estado probando y seleccionando las estrategias que, desde su experiencia, pueden producir mejores resultados.
Es necesario capacitar y establecer políticas que tengan por objetivo apoyar y mejorar el trabajo del profesor, dejando de lado consideraciones burocráticas.
Mientras se toman las decisiones que privilegian los conceptos educativos, es conveniente para el profesor conocer las recomendaiones metodológicas y experiencias de otras instituciones educativas con mayor experiencia en la educación no presencial.
En el siguiente enlace se encuentran 14 sencillas recomendaciones para mejorar la educación a distancia:
3. Corta las grabaciones de los videos a no más de 15 minutos cada uno
4. Verifica que tus presentaciones sean legibles incluso en teléfonos celulares
5. Selecciona y utiliza recursos disponibles
6. Asegúrate que dichos recursos sean de acceso abierto
Un recurso que cumple esats condiciones son los videos de telesecundaria, existen de todas las asignaturas de educación básica. no importa que nuestros alumnos estén en la universidad, estos materiales son de muy buena calidad. Al final del texto se propociona un video de matemáticas de este acervo.
7. Asegúrate que las indicaciones que se dan sean claras
8. Provee actividades interactivas
9. Las actividades que se piden al alumno, deben ser realizables empleando los recursos proporcionados
En los siguientes enlaces se muestran algunos materiales que se están empleando en las clases de:
Cálculo Integral, Funciones Matemáticas y Álgebra Lineal.
10. Para mejorar la asistencia a clases virtuales, asigna un valor a la participación DURANTE la clase
Esta recomendación es muy importante, si un alumno no asiste, no podrá entregar su participación, ya que el objetivo es que cumpla con la asistencia a las sesiones por videoconferencia.
11. Establece un horario de atención por videoconferencia que no esté destinado a impartir clases
Esta recomendación puede ser útil para resolver las dudas no académicas que puedan presentarse y evitar que el alumno tenga la expectativa de que el profesor debe estar disponible las 24 horas del día los 7 días de la semana.
12. Promueve la comunicación e interacción entre tus estudiantes
13. No ocultes tus sentimientos acerca de esta nueva forma de educación
14. Repite y reutiliza el estilo de enseñanza con el que te sientes cómodo, no el que elige alguien más
Es evidente que estas recomendaciones pueden irse implementando poco a poco, conforme las condiciones de trabajo y dominio de la tecnología por parte del profesor vayan aumentando, no necesariamente todas de una vez.
Ejercicio 2.1. Aplicaciones de la Geometría Analítica
La Geometría Analítica, esta gran aportación de R. Descartes, facilita el uso de la geometría en la resolución de problemas prácticos. A diferencia de la Geometría Euclideana cuenta con una gran cantidad de herramientas que de una forma sencilla pueden utilizarse para modelar matemáticamente diversas situaciones.
El siguiente ejercicio contiene 3 problemas en los que se emplean herramientas de la geometría analítica para la resolución de problemas. Dentro del documento se encuentran enlaces que serán útiles para la resolución de este ejercicio.
Aprende a Resolver Problemas de Razonamiento Fácilmente
La resolución de problemas de razonamiento es una actividad que presenta un alto grado de dificultad a muchos estudiantes. Es un tema que debe ser tratado con atención en las clases de matemáticas.
La siguiente presentación contiene una explicación detallada del proceso de planteamiento y resolución de un problema de razonamiento mediante una ecuación de primer grado con una incógnita.
La resolución y presentación de problemas de razonamiento siempre resulta confusa para los estudiantes, una buena forma de guiar el proceso de solución y entrega de trabajos consiste en elaborar una rúbrica o lista de verificación en la que se señalen con precisión los elementos que se van a evaluar.
El siguiente documento se empleará para resolver problemas en los que se aplican las cónicas a problemas de razonamiento.
Actividad 3.1. Ecuaciones Lineales con un Incógnita
La matemática se aprende practicando, es como la natación; nadie puede aprender a nadar leyendo un libro que explique cómo nadar, debe tirarse a la alberca.
Esta actividad plantea una estrategia para resolver problemas y propone 10 problemas por resolver empleando la misma estrategia, el uso de un formato para organizar y entregar la información.
El formato que se recomienda se encuentra en el enlace:
La gestión del tiempo en el estudiante universitario.
El radical cambio que ha sufrido nuestra forma de vida ha afectado a trodas nuestras actividades, por supuesto la educación no es la excepción.
En el caso de la educación superior, muchos estudiantes que habían desarrollado una la ta dependencia para con el profesor, enfrentan una situación a la que no saben como enfrentar.
Una de las mayores quejas de nuestros alumnos es que el trabajo que se encarga es demasiado, pero no se ha hecho un estudio acerca de la validez de estas afirmaciones, por lo tanto, es conveniente antes de emitir un juicio acerca de este tema, aplicar técnicas de gestión del tiempo y revisar si efectivamente la cantidad de trabajo es excesiva.
En las páginas que se anexan se encuentran útiles recomendaciones acerca de la mejor forma de administrar el tiempo destinado a la escuela.
En todas ellas existen recomendaciones en común, como son:
1. Identifica las actividades que significan una pérdida de tiempo y establece objetivos
2. Utiliza una lista de pendientes por hacer (To Do List)
3. Elabora un horario de trabajo y cúmplelo
4. Divide tareas extensas en actividades de corta duración
La ecuación de la circunferencia y sus aplicaciones
Las cónicas son un conjunto de curvas que reciben este nombre debido a que pueden obtenerse mediante el corte de un cono de dos hojas con un plano.
Una de dichas cónicas es la circunferencia, y en el documento adjunto se resuelve uno de los problemas básicos de la geometría analítica; dado un conjunto de condiciones geométricas, determinar la ecuación que lo describe.
Específicamente se resuelve el problema de encontrar la ecuación de una circunferencia si se conocen las coordenadas de tres puntos.
Una pregunta que es natural hacernos es, ¿de dónde salen los productos notables? En esta actividad se propone explorar una forma de desarrollar nuevas reglas para productos notables.
Se parte de la resolución de multiplicaciones siguiendo todos los pasos del procedimiento y observando las regularidades que nos conducirán a una fórmula para determinar el resultado sin necesidad de efectuar todos los pasos del procedimiento.
En el documento siguiente se detallan las instrucciones del procedimiento que debe seguirse para obtener estas reglas que, por sus características, deberemos considerarlas solamente reglas empíricas.
Un tema central acerca de la integración es el uso de métodos especiales cuando no se dispone de fórmulas directas.
La dificultad que se presenta es cómo elegir la técnica más adecuada para cada problema. En el siguiente video se aborda esta pregunta y se muestran las estrategias de razonamiento que se siguen para elegir la técnica adecuada para cada problema.
Se anexa el archivo con los problemas con la finalidad de que se intente resolverlos antes de ver el video.
Un tema particularmente útil al momento de efectuar operaciones algebraicas son los productos notables; estas reglas permiten obtener el resultado de una operación aritmética sin necesidad de efectuar todos los pasos, sencillamente siguiendo los pasos indicados por la regla correspondiente.
En la presentación adjunta se explica el origen empírico de estas reglas y se recomienda el uso del formulario de matemáticas básicas para consultar los productos notables más usuales. Enlace al formulario:
Tal como se estudió en el ejemplo acerca de punto de equilibrio, el proceso de modelado matemático requiere del establecimiento de postulados acerca del comportamiento matemático del fenómeno que se estudia.
En el siguiente enlace se encuentra el ejemplo de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales a la resolución de problemas de toma de decisiones:
Es evidente que los modelos lineales no son suficientes para resolver la amplia variedad de problemas que pueden presentarse, por ello, a continuación se explica detalladaqmente el proceso de modelado matemático mediante funciones cuadráticas.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales puede realizarse mediante diferentes métodos, en esta presentación se explica, paso a paso, el procedimiento para resolver un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas por el método de Cramer o método por determinantes.
Se plantea un ejemplo y es resuelto señalando los pasos a seguir y las recomendaciones acerca de los puntos en los que suelen presentarse errores.
El álgebra es una herramienta para resolver problemas, solamente debemos aprender a aplicarla a las situaciones de la vida cotidiana en las que es útil.
El siguiente documento contiene una introducción al álgebra elemental y sus operaciones fundamentales a través de problemas en los que se aplica. En caso de que se considere necesario se puede consultar la presentación del enlace siguiente para aclarar aglunas dudas:
La suma algebraica es una operación en la que se resuelven, indistintamente, sumas y restas algebraicas. Los conceptos básicos para efectuar estas operaciones son:
1. Leyes de los signos para la suma
2. Reducción de términos semejantes
En la siguiente presentación se explican, paso a paso, diversos ejemplos de esta operación.
Punto de equilibrio: Sistemas de dos ecuaciones lineales
El modelado matemático consiste en "traducir" problemas y situaciones del mundo real, a conceptos e interpretaciones matemáticas.
Para llevar a cabo el proceso de modelado es necesario establecer un conjunto de postulados que darán sentido y guiarán el proceso de interpretación de la realidad.
La siguiente presentación contiene una explicación del procedimiento que se sigue para representar matemáticamente y resolver un problema de punto de equilibrio.
Métodos y Técnicas de Integración 2: Integración por partes
El porcentaje de problemas que pueden ser resueltos analíticamente es muy bajo, la gran mayoría de las integrales debe resolverse por métodos especiales o por métodos numéricos.
Entre los métodos especiales para resolver integrales se encuentra el de integración por partes.
En publicaciones anteriores se ha explicado la forma en la que se aplican las fórmulas de integración y los requisitos que deben cumplirse para poder aplicarlas, estos materiales se encuentran en los enlaces siguientes:
En esta presentación se muestra, paso a paso, la forma en que se emplean dos de estas fórmulas, no se consideró necesario explicar las demás debido a que son simlares.
Se comenta, mediante un ejemplo, la necesidad de los métodos y técnicas de integración cuando las fórmulas que estamos empleando resultan insuficientes por cualquier razón.
Las operaciones básicas con números complejos son, sencillamente, técnicas algebraicas sencillas con algunas consideraciones teóricas, como el hecho de que i cuadrada es igual a menos uno.
Sin embargo, cuando se trata de elevar a una potencia "grande" o, sobre todo, cuando se desea extraer una raíz, el procedimiento require del uso de trigonometría y el Teorema de De Möivre.
Si se desea revisar una explicación detallada de este procedimiento puede consultarse la presentación que se encuentra en el siguiente enlace:
En la siguiente presentación se explica, paso a paso, el procedimiento para obtener la raíz cúbica de un número complejo hasta el trazo de la gráfica, sin atender a demasiadas consideraciones teóricas.
Las operaciones fundamentales con números complejos pueden ser resueltas empleando conocimientos de álgebra, incluso las potencias pueden obtenerse mediante productos notables. Sin embargo, las raíces solamente pueden calcularse mediante el Teorema de De Möivre, que se explica en la presentación adjunta.
Incluso para elevar a una potencia grande, digamos mayor que 4, es preferible aplicar también el citado teorema.
Cuando un triángulo no presenta ningún ángulo recto recibe el nombre de triángulo oblicuángulos, para resolver este tipo de figuras geométricas no es suficiente con las funcion es trigonométricas básicas ni con el Teorema de Pitágoras, en vez de ello, se requieren dos teoremas o leyes que se estudiarán en dos presentaciones; ley de los senos y ley de los cosenos.
En esta primera presentación se explica cuando es posible emplear la primera de estas leyes o teoremas.
El estudio de la trigonometría ha acompañado al hombre desde hace varios miles de años, la evidencia más clara que tenemos del uso de los triángulos en la vida cotidiana se encuentra en el papiro Rhind.
En el documento adjunto se lleva a cabo una breve introducción a las propiedades de los triángulos semejantes y su relación con las razones trigonométricas. Después se emplean dichas razones en la resolución de triángulos rectángulos.
En la siguiente presentación se explica, paso a paso, el procedimiento y las condiciones que deben cumplirse para la aplicación de las primeras cuatro fórmulas de integración.
Uno de los más importantes y útiles conceptos de la matemática es el de función, ya que nos permite establecer una interrelación matemática entre cualquier cantidad de variables.
Existen muchos tipos de funciones, por ello, ne este curso se trabajará con las más usuales.
El estudio de los números, sus propiedades y operaciones suele ser el primer contacto de las personas con la matemática; operaciones aritméticas relacionadas con ingresos y gastos, cálculo de superficies y volúmenes, entre muchas otras actividades cotidianas.
Sin embargo, algunas operaciones presentan cierto grado de dificultad y deben ser estudiadas cuidadosamente.
El documento adjunto contiene una lista de actividades que permitirán al alumno adentrarse, poco a poco, en el estudio de los númetros.
El documento en formato Word se encuentra en el siguiente enlace:
Las fórmulas de derivación son una excelente herramienta para obtener la derivda de una función y aplicarla a cualquier situación, sin embargo, estas fórmulas tuvieron que ser desarrolladas.
En este ejercicio se obtendrá la derivada y se empleará para trazar rectas tangentes por el método de los 4 pasos.
El modelado matemático es un proceso que, en ocasiones, puede volverse complejoy difícil de entender y comunicar.
En el siguiente enlace se encuentra una presentación de Power Point en la que se explica detalladamente el procedimiento para plantear, modelar y resolver problemas mediante máximos y mínimos relativos.
Aunque en dicha presentación se explica la forma de analizar y resolver el problema, es necesario presentar los resultados en un documento ordenado. En el siguiente enlace se encuentra una plantilla que tiene como finalidad mostrar los pasos que deben segurise para resolver y presentar los resultados de un problema mediante la derivada.
Una de las aplicaciones más útiles de la derivada es la obtención de máximos y mínimos relativos de una función, ya que estos valores pueden representar todo tipo de magnitudes físicas.
En la siguiente presentación se explica el procedimiento para elaborar, resolver e interpretar el modelo matemático de un problema de maximización.
El siguiente formato se utiliza para organizar adecuadamente los datos, el proceso de solución, y la respuesta de problemas mediante el método de Fermat.
Destaca la importancia de la gráfica con todos sus elementos como una forma de comunicar el procedimiento y las respuestas de cada uno de los pasos efectuados, así como de la respuesta final del problema y su interpretación.
El punto de partida del concepto de derivada se basa en el Método de Fermat que empleamos para calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto y que se explica en la presentación:
Estos temas son el concepto de derivada. Sin embargo, obtener la derivada por el método de los cuatro pasos resulta poco práctico, por ello, algunos matemáticos han desarrollado, por diferentes métodos, un conjunto de fórmulas que nos permiten obtener la derivada de las expresiones matemáticas más usuales.
La siguiente presentación contiene una explicación acerca de las primeras cinco fórmulas básicas de derivación, la forma en la que se utilizan, y algunos ejemplos.
Al resolver problemas de matemáticas en las que interviene conceptos de geometría analítica y/o funciones matemáticas, es indispensable trazar la gráfica correspondiente, ya que en ella se sintetiza el procedimiento y los resultados del problema.
El siguiente formato se emplea para organizar, presentar, y entregar problemas en los que se obtiene la pendiente de la recta tangente a una curva en cualquier punto mediante el método de los 4 pasos.
Fermat es muy conocido por el llamado: "Último Teorema de Fermat", aunque su obra es mucho más amplia, en esta presentación se explica, paso a paso, la aplicación de su método para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado.
Se actualiza el método a la terminología actual y se agregan algunos elementos modernos.
Esta presentación resultará útil para conestar la Actividad 2.1, que se encuentra en el siguiente enlace:
El aprendizaje de la matemática requiere práctica, el conjunto de ejercicios que se anexa fue tomado del libro; Cálculo Diferencial e Integral de Purcell.
Al resolverlos pueden emplearse estrategias aritméticas, algebraicas, o ambas.
En matemáticas las gráficas son una forma de comunicación de conceptos adicional a las ecuaciones y otras formas del lenguaje matemático. Es necesario que dichos elementos matemáticos contengan toda la información acerca del proceso de elaboración así cmo los resultados que se obtuvieron.
La lista de cotejo adjunta tiene como finalidad guiar el proceso de elaboración de dichas gráficas y permitir al alumno auto-evaluarse con base en los criterios señalados en la misma, adicionalmente es el instrumento que se empleará para evaluar y calificar el desempeño del alumno.
La elaboración de una tesis o tesina suele presentar un alto grado de dificultad para los egresados cualquier profesión. Esto se debe a la poca familiaridad que el estudiante tiene con este tipo de trabajos académicos.
Es importante seguir las indicaciones de la Universidad en la que se estudia y comenzar por la justificación del proyecto. En esta sección respondemos a la pregunta ¿por qué estoy llevando a cabo este trabajo?
Existen muchos tipos de proyectos:
1. Proyecto de Investigación
2. Proyecto de mejora
3. Proyecto de desarrollo tecnológico
4. Proyecto de Intervención
Entre muchos otros, y cualquier persona puede realizar el que le interese fácilmente, sólo deben seguirse ciertas recomendaciones.
Una buena forma de iniciar este trabajo consiste en identificar el problema que se desea resolver, la siguiente presentación contiene una explicación acerca de lo que entendemos por problema y su cuantificación.
La evaluación por competencias parte de un diseño metodológico diferente a las clases expositivas, y requiere instrumentos específicos que miden el desempeño del estudiante, los más comunes son:
1. Lista de verificación o lista de cotejo (en inglés checklist)
2. Rúbrica
3. Guía de observación
En el siguientye enlace se presenta una lista de cotejo con muchos detalles que sriven pafra dejar claro qué se espera del estudiante.
En esta pcasión se propone una rúbrica para medir el desmpeño de los alumnos en la obtención de límites mediante aproximación numérica.Una rúbrica es un instrumento de evaluación que describe las características esperadas de un trabajo y los puntos que se obtendrán si se contesta correctamente cada sección del producto de aprendizaje.
Generalmente se presentan las rúbricas en forma de tabla conteniendo los aspectos a evaluar y los puntos que se obtendrán con cada resultado parcial del trabajo, sin embargo, en el caso de problemas de matemáticas, es mucho más útil presentarlo como formato en el que se espifican los pasos del procedimiento y el valor que cada uno de estos pasos tiene, aclarando las características esperadas de cada paso y/o sección.
El siguiente documento contiene una explicación detallada acerca de la forma en que debe entregarse un trabajpo acerca de límites que está basado en una guía didáctica identificada como:
Actividad 1.1. Límites y Continuidad
Tiene la función de servir como lista de verificación patra asegurarnos de no olvidar alguna parte del trabajo y como instrumento de evaluación por competencias.
El trabajo matemático, especialmente cuando se trata de cálculos aritméticos y/o gráficas, debe realizarse ordenadamente para facilitar la comprensión y la comunicación. El presente formato tiene la finalidad de guiar el proceso de solución de la aproximación numérica de límites, desde la elección de valores, hasta el trazo de la gráfica.
Es muy importante que todas las gráficas de funciones incluyan la información completa del problema; la gráfica de la función, los valores empleados al tabular, los puntos importantes como las coordenadas de los límites, la expresión algebraica o trascendente de la función.
El enlace al documento en formato Word es el siguiente:
PD El siguiente formato está en PDF, puede ser útil para imprimirlo y escrinbir sobre él, escanear el problema resuelto y convertirlo a PDF para entregarlo.
Impartir un curso de Cálculo Diferencial presenta un alto grado de dificultad debido a numerosos factores que se convierten en obstáculos del proceso enseñanza aprendizaje. En este caso, además de las dificultades naturales de la enseñanza, se va a impartir en línea.
Es necesario que el profesor establezca una forma de comunicación con el grupo a través de la cuál sea posible aclarar dudas de la asignatura y de la forma de trabajo de la clase.
La presentación adjunta contiene el encuadre de un curso de cálculo impartido en modalidad no presencial.